逐点收敛与一致收敛

作者：Abraham     转载请标明出处，谢谢！

数学分析中的函数列的收敛性是一个很重要的概念。

Riemann空间（工科数学分析主要讨论的范围）上描述收敛性的两个概念是逐点收敛与一致收敛。

Pointwise Convergence

Definition.

Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of functions defined on D. We say that {fn} converges pointwise on D if lim n→∞ fn(x) exists for each point x in D. This means that lim n→∞ fn(x) is a real number that depends only on x. If {fn} is pointwise convergent then the function defined by f(x) = lim n→∞ fn(x), for every x in D, is called the pointwise limit of the sequence {fn}.

Formal Definition.

Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges pointwise to f if given any x in D and given any ε > 0, there exists a natural number N = N(x, ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N.

Uniform Convergence

Definition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges uniformly to f if given any ε > 0, there exists a natural number N = N(ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N and for every x in D.

       两者的关系是：一致收敛必逐点收敛，但反之则不然。

       关于一致收敛的特别之处，一种理解是收敛速度的一致性，如果能正确定义这里的“收敛速度一致性”，这种解释是正确的，但是这个“收敛速度一致性”十分容易引起歧义。详见下面两种使人模糊的解释：

1. 出处：Albert Boggesss ， Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis[M]. Publishing House of Electronics Industry ;Pearson, 2002.

2. 百度作业帮 https://www.zybang.com/question/6c5bd50644ca736bddf0af1c97869fa4.html

所谓一致的意思就是大家具有同样的性质或者同样的速度.
比如讲收敛.fn(x)在x点收敛是对任意的e>0,存在N=N(e,x),
当n>N时,有|fn(x)-f(x)|<e.这里的n通俗说就是衡量收敛速度的快慢的.
对给定的e,N越大的可以认为收敛的越慢,N越小的可以认为收敛的越快.
不同的x对应的N是不同的（即使是同样的e),也就是不同的点收敛的快慢
是不一样的.再来看一致收敛.
对任给的e>0,存在N=N(e),当n>N时,对任意的x,有
|fn(x)-f(x)|<e.这里的n不与x有关,只与e有关；e给定后,
N就可以确定了.也就是说,不同的地方收敛的速度基本上
是同样的,都可以用同一个N来控制.对比上面的逐点收敛而不一致收敛,
上面的逐点收敛一般是找不到同样的N的,你只能保证每一点都是收敛的,
但收敛的快慢是不一样的.如果举一个具体的例子,比如fn(x)=x^n,0<x<1.
越靠近1的地方,收敛于0的速度越慢,在整个(0,1)上是否能具有大致相同的
收敛速度呢（也就是给定x之后,能否找一个公共的N来控制呢）.可以知道,
这是办不到的.假设有一个这样的N,使得|x^n|<e<1对所有的x,当n>N时同时
都成立,固定每一个n,令x趋于1得到1

其中，第二个例子的大致相同的收敛速度实在是一个模糊而且容易引起歧义的概念（虽然括号里的补充是对的），第一个例子在论证不满足一致收敛性的时候没有说到点子上，"The rate at which tn approaches zero becomes slower as t approaches 1." 这个说法是正确的，但是并不能说明为什么这样就不是“收敛速度一致”，是因为slower吗？并不是，在紧接着的区间为[ 0, r ]的例子中slower依然存在。关键在[ 0, r ]例子的最后一句话"In other words, the rate at which fn approaches zero for all points on the interval [ 0, r ] is no worse than the rate at which rn approaches zero." 一个是slower一个是the rate... is no worse than，这两个在文法上好似一对反义词，所以乍一看一头雾水。从数学分析的角度看，这两句话的意思其实截然不同，收敛速度的不同在两张情况下都存在，所以都存在slower，但是，no worse than the rate AT rn approaches zero中的这个at明确给出了slower的一个极限，或者说一个下确界，也就是slowest的情况。这个slowest存在与否，或者说这个收敛速度最慢情况的存在与否，或者说这个收敛速度下确界存在与否，决定了这个函数列是一致收敛还是逐点收敛。但是本书一贯聪明而且通俗易懂的作者却没有明确的指出“下界”这个概念，是作者觉得显而易见忽略了还是作者有意不让本书出现过多数学概念亦未可知。这里引入Wikipedia关于一致收敛的概念，这个问题就十分明了了：

Definition of Uniform Convergence on Wikipedia

Suppose  is a set and  () are real-valued functions. We say that the sequence  is uniformly convergentwith limit  on  if for every , there exists a natural number  such that for all  and all  we have . Equivalently,  converges uniformly on  in the previous sense if and only if for every , there exists a natural number  such that . This is the Cauchy criterion for uniform convergence.

In another equivalent formulation, if we define , then  converges to  uniformly if and only if  as . This last statement can be restated as uniform convergence of  on  being equivalent to convergence of the sequence in the function space  with respect to the uniform metric (also called the supremum metric), defined by .。

这里的sup，也就是fn与f距离的上确界，上确界的定义：

一维点集上确界定义：

考虑一维欧氏空间中的一个集合，若存在，使得对于，都有，则称是集合的一个上界。设，若数满足

1. 是的一个上界；
2. 如果是的一个上界，则必有;

就称是集合的上确界，记作或者

这里的上确界与上文所说的收敛速度下确界是等价的。如果这个确界存在，则为一致收敛，如果不存在，则为逐点收敛。通俗地讲，想要一致收敛，不怕你收敛速度慢，不怕你离极限值远，就怕你没数（函数列与极限函数间的距离没有上确界）。另外要注意，在这个上确界的表达式中如果没有上确界符号，表达式的极限值为0其实是一个容易达到的弱约束，而极限值中上确界的存在性是一个强约束。

附上两个逐点收敛但不一致收敛的例子：

1. 出处：Albert Boggesss ， Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis[M]. Publishing House of Electronics Industry ;Pearson, 2002.

2. 出处：Pointwise Convergence on Wikipedia

For example we have

as the speed of convergence depends on x and is faster for lower values of x in the domain.

如果要证明第二例，方法很简单：

令x = (1/2)exp(1/n)，则lim xexp(n) = 1/2，对于ε<1/2，不成立。

这种证明某函数列逐点收敛但是不一致收敛的方法大同小异，就是令一个与n有关的x使函数列不收敛到指定值。

PS. 一个介于逐点收敛与一致收敛之间的概念是均匀收敛（L2收敛）

L2收敛比一致收敛稍弱的原因是L2[ a, b ]上函数f和g相等的定义是在[ a, b ]上除了零测度集外对所有的t有f(t) = g(t)（“除了零测度集外”是Lesbegue积分的观点，Riemann积分的观点是“除有限个点外”，区别大概是零测度集可以有无穷多个元素，未深究）。

L2收敛的证明方式最简单，求lim n->∞ ||fn-f||就可以了，这是一个积分的极限。